सोडोवचें {l}{2x+4y=8}{6x+3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 8 } \\ { 6 x + 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{8}{9}\approx 0.888888889$$

$$y = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9} \approx 1.555555556$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+4y=8,6x+3y=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+4y=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$2x=-4y+8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+8\right)$$

-4y+8क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-2y+4$$

6x+3y=10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y+4 बदलपी घेवचो.

$$6\left(-2y+4\right)+3y=10$$

-2y+4क 6 फावटी गुणचें.

$$-12y+24+3y=10$$

3y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$-9y+24=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 24 वजा करचें.

$$-9y=-14$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$y=\frac{14}{9}$$

x=-2y+4 त y खातीर \frac{14}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\times \frac{14}{9}+4$$

\frac{14}{9}क -2 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{28}{9}+4$$

-\frac{28}{9} कडेन 4 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{8}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{8}{9},y=\frac{14}{9}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+4y=8,6x+3y=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\6&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{2\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{2\times 3-4\times 6}&\frac{2}{2\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 8+\frac{2}{9}\times 10\\\frac{1}{3}\times 8-\frac{1}{9}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{9}\\\frac{14}{9}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{8}{9},y=\frac{14}{9}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+4y=8,6x+3y=10$$

2x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$6\times 2x+6\times 4y=6\times 8,2\times 6x+2\times 3y=2\times 10$$

सोंपें करचें.

$$12x+24y=48,12x+6y=20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+24y=48 तल्यान 12x+6y=20 वजा करचो.

$$12x-12x+24y-6y=48-20$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$24y-6y=48-20$$

-6y कडेन 24y ची बेरीज करची.

$$18y=48-20$$

-20 कडेन 48 ची बेरीज करची.

$$18y=28$$

दोनुय कुशींक 18 न भाग लावचो.

$$y=\frac{14}{9}$$

6x+3y=10 त y खातीर \frac{14}{9} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+3\times \frac{14}{9}=10$$

\frac{14}{9}क 3 फावटी गुणचें.

$$6x+\frac{14}{3}=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{14}{3} वजा करचें.

$$6x=\frac{16}{3}$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=\frac{8}{9}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{8}{9},y=\frac{14}{9}$$