सोडोवचें {l}{2x+4y=362}{3x+2y=153.5}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 362 } \\ { 3 x + 2 y = 153.5 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-13.75$$

$$y=97.375$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+4y=362$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$2x=-4y+362$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+362\right)$$

-4y+362क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-2y+181$$

3x+2y=153.5 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y+181 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-2y+181\right)+2y=153.5$$

-2y+181क 3 फावटी गुणचें.

$$-6y+543+2y=153.5$$

2y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-4y+543=153.5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 543 वजा करचें.

$$-4y=-389.5$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=97.375$$

x=-2y+181 त y खातीर 97.375 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\times 97.375+181$$

97.375क -2 फावटी गुणचें.

$$x=-194.75+181$$

-194.75 कडेन 181 ची बेरीज करची.

$$x=-13.75$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-13.75,y=97.375$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 362+\frac{1}{2}\times 153.5\\\frac{3}{8}\times 362-\frac{1}{4}\times 153.5\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{55}{4}\\\frac{779}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 362,2\times 3x+2\times 2y=2\times 153.5$$

सोंपें करचें.

$$6x+12y=1086,6x+4y=307$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+12y=1086 तल्यान 6x+4y=307 वजा करचो.

$$6x-6x+12y-4y=1086-307$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y-4y=1086-307$$

-4y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$8y=1086-307$$

-307 कडेन 1086 ची बेरीज करची.

$$8y=779$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$y=\frac{779}{8}$$

3x+2y=153.5 त y खातीर \frac{779}{8} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2\times \frac{779}{8}=153.5$$

\frac{779}{8}क 2 फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{779}{4}=153.5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{779}{4} वजा करचें.

$$3x=-\frac{165}{4}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{55}{4}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$