सोडोवचें {l}{2x+4y=-4}{2x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = - 4 } \\ { 2 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=6$$

$$y=-4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+4y=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$2x=-4y-4$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y-4\right)$$

-4y-4क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-2y-2$$

2x+y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y-2 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-2y-2\right)+y=8$$

-2y-2क 2 फावटी गुणचें.

$$-4y-4+y=8$$

y कडेन -4y ची बेरीज करची.

$$-3y-4=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$-3y=12$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$y=-4$$

x=-2y-2 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\left(-4\right)-2$$

-4क -2 फावटी गुणचें.

$$x=8-2$$

8 कडेन -2 ची बेरीज करची.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=-4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4\times 2}&-\frac{4}{2-4\times 2}\\-\frac{2}{2-4\times 2}&\frac{2}{2-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{1}{3}\left(-4\right)-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=6,y=-4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+4y=-4,2x+y=8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+4y=-4 तल्यान 2x+y=8 वजा करचो.

$$2x-2x+4y-y=-4-8$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4y-y=-4-8$$

-y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$3y=-4-8$$

-8 कडेन -4 ची बेरीज करची.

$$3y=-12$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=-4$$

2x+y=8 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x-4=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 ची बेरीज करची.

$$2x=12$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=6$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=6,y=-4$$