सोडोवचें {l}{2x+3y=90}{3y+5x=45}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 90 } \\ { 3 y + 5 x = 45 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-15$$

$$y=40$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=90,5x+3y=45$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=90$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+90$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+90\right)$$

-3y+90क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+45$$

5x+3y=45 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+45 बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+45\right)+3y=45$$

-\frac{3y}{2}+45क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{15}{2}y+225+3y=45$$

3y कडेन -\frac{15y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{2}y+225=45$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 225 वजा करचें.

$$-\frac{9}{2}y=-180$$

-\frac{9}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=40$$

x=-\frac{3}{2}y+45 त y खातीर 40 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times 40+45$$

40क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-60+45$$

-60 कडेन 45 ची बेरीज करची.

$$x=-15$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-15,y=40$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=90,5x+3y=45$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 3-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 3-3\times 5}&\frac{2}{2\times 3-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\45\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 90+\frac{1}{3}\times 45\\\frac{5}{9}\times 90-\frac{2}{9}\times 45\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\40\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-15,y=40$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=90,5x+3y=45$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+3y=90 तल्यान 5x+3y=45 वजा करचो.

$$2x-5x+3y-3y=90-45$$

-3y कडेन 3y ची बेरीज करची. अटी 3y आनी -3y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2x-5x=90-45$$

-5x कडेन 2x ची बेरीज करची.

$$-3x=90-45$$

-45 कडेन 90 ची बेरीज करची.

$$-3x=45$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-15$$

5x+3y=45 त x खातीर -15 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5\left(-15\right)+3y=45$$

-15क 5 फावटी गुणचें.

$$-75+3y=45$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 75 ची बेरीज करची.

$$3y=120$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=40$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-15,y=40$$