सोडोवचें {l}{2x+3y=5}{3x+12y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 12 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-10$$

$$y = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+5$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

-3y+5क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

3x+12y=70 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+5}{2} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)+12y=70$$

\frac{-3y+5}{2}क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}+12y=70$$

12y कडेन -\frac{9y}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{15}{2}y+\frac{15}{2}=70$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{2} वजा करचें.

$$\frac{15}{2}y=\frac{125}{2}$$

\frac{15}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{25}{3}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} त y खातीर \frac{25}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{25}{3}+\frac{5}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{25}{3} क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{-25+5}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{25}{2} क \frac{5}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{2\times 12-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 12-3\times 3}&\frac{2}{2\times 12-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{15}\times 70\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\\frac{25}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=5,3x+12y=70$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 5,2\times 3x+2\times 12y=2\times 70$$

सोंपें करचें.

$$6x+9y=15,6x+24y=140$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+9y=15 तल्यान 6x+24y=140 वजा करचो.

$$6x-6x+9y-24y=15-140$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$9y-24y=15-140$$

-24y कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$-15y=15-140$$

-140 कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$-15y=-125$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=\frac{25}{3}$$

3x+12y=70 त y खातीर \frac{25}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+12\times \frac{25}{3}=70$$

\frac{25}{3}क 12 फावटी गुणचें.

$$3x+100=70$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 100 वजा करचें.

$$3x=-30$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=-10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-10,y=\frac{25}{3}$$