सोडोवचें {l}{2x+3y=465}{5x-7y=75}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 465 } \\ { 5 x - 7 y = 75 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=120$$

$$y=75$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=465$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+465$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+465\right)$$

-3y+465क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2}$$

5x-7y=75 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+465}{2} बदलपी घेवचो.

$$5\left(-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2}\right)-7y=75$$

\frac{-3y+465}{2}क 5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{15}{2}y+\frac{2325}{2}-7y=75$$

-7y कडेन -\frac{15y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{29}{2}y+\frac{2325}{2}=75$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2325}{2} वजा करचें.

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{2175}{2}$$

-\frac{29}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=75$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{465}{2} त y खातीर 75 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times 75+\frac{465}{2}$$

75क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-225+465}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{225}{2} क \frac{465}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=120$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=120,y=75$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-3\times 5}&-\frac{3}{2\left(-7\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-7\right)-3\times 5}&\frac{2}{2\left(-7\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{5}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}465\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 465+\frac{3}{29}\times 75\\\frac{5}{29}\times 465-\frac{2}{29}\times 75\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\75\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=120,y=75$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=465,5x-7y=75$$

2x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$5\times 2x+5\times 3y=5\times 465,2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\times 75$$

सोंपें करचें.

$$10x+15y=2325,10x-14y=150$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 10x+15y=2325 तल्यान 10x-14y=150 वजा करचो.

$$10x-10x+15y+14y=2325-150$$

-10x कडेन 10x ची बेरीज करची. अटी 10x आनी -10x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$15y+14y=2325-150$$

14y कडेन 15y ची बेरीज करची.

$$29y=2325-150$$

-150 कडेन 2325 ची बेरीज करची.

$$29y=2175$$

दोनुय कुशींक 29 न भाग लावचो.

$$y=75$$

5x-7y=75 त y खातीर 75 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x-7\times 75=75$$

75क -7 फावटी गुणचें.

$$5x-525=75$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 525 ची बेरीज करची.

$$5x=600$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=120$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=120,y=75$$