सोडोवचें {l}{2x+3y=30}{6x+8y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 30 } \\ { 6 x + 8 y = 42 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-57$$

$$y=48$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+30$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+30\right)$$

-3y+30क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+15$$

6x+8y=42 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+15 बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+15\right)+8y=42$$

-\frac{3y}{2}+15क 6 फावटी गुणचें.

$$-9y+90+8y=42$$

8y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$-y+90=42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 90 वजा करचें.

$$-y=-48$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=48$$

x=-\frac{3}{2}y+15 त y खातीर 48 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times 48+15$$

48क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-72+15$$

-72 कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$x=-57$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-57,y=48$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-3\times 6}&-\frac{3}{2\times 8-3\times 6}\\-\frac{6}{2\times 8-3\times 6}&\frac{2}{2\times 8-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{3}{2}\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 30+\frac{3}{2}\times 42\\3\times 30-42\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-57\\48\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-57,y=48$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=30,6x+8y=42$$

2x आनी 6x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 30,2\times 6x+2\times 8y=2\times 42$$

सोंपें करचें.

$$12x+18y=180,12x+16y=84$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12x+18y=180 तल्यान 12x+16y=84 वजा करचो.

$$12x-12x+18y-16y=180-84$$

-12x कडेन 12x ची बेरीज करची. अटी 12x आनी -12x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$18y-16y=180-84$$

-16y कडेन 18y ची बेरीज करची.

$$2y=180-84$$

-84 कडेन 180 ची बेरीज करची.

$$2y=96$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=48$$

6x+8y=42 त y खातीर 48 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6x+8\times 48=42$$

48क 8 फावटी गुणचें.

$$6x+384=42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 384 वजा करचें.

$$6x=-342$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$x=-57$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-57,y=48$$