सोडोवचें {l}{2x+3y=19}{4x+11y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 19 } \\ { 4 x + 11 y = 53 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=5$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=19$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+19$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+19\right)$$

-3y+19क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}$$

4x+11y=53 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+19}{2} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}\right)+11y=53$$

\frac{-3y+19}{2}क 4 फावटी गुणचें.

$$-6y+38+11y=53$$

11y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$5y+38=53$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 38 वजा करचें.

$$5y=15$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=3$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{19}{2}$$

3क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-9+19}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{9}{2} क \frac{19}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2\times 11-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 11-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 11-3\times 4}&\frac{2}{2\times 11-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}&-\frac{3}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}\times 19-\frac{3}{10}\times 53\\-\frac{2}{5}\times 19+\frac{1}{5}\times 53\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=5,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

2x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 19,2\times 4x+2\times 11y=2\times 53$$

सोंपें करचें.

$$8x+12y=76,8x+22y=106$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x+12y=76 तल्यान 8x+22y=106 वजा करचो.

$$8x-8x+12y-22y=76-106$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y-22y=76-106$$

-22y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$-10y=76-106$$

-106 कडेन 76 ची बेरीज करची.

$$-10y=-30$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$y=3$$

4x+11y=53 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+11\times 3=53$$

3क 11 फावटी गुणचें.

$$4x+33=53$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 33 वजा करचें.

$$4x=20$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=3$$