सोडोवचें {l}{2x+3y=15}{x+y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 15 } \\ { x + y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=3$$

$$y=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=15,x+y=6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+15$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+15\right)$$

-3y+15क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

x+y=6 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y+15}{2} बदलपी घेवचो.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=6$$

y कडेन -\frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{2} वजा करचें.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

दोनूय कुशीनीं -2 न गुणचें.

$$y=3$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2} त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{15}{2}$$

3क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-9+15}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{9}{2} क \frac{15}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=15,x+y=6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{3}{2-3}\\-\frac{1}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15+3\times 6\\15-2\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=3,y=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=15,x+y=6$$

2x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2x+3y=15,2x+2y=2\times 6$$

सोंपें करचें.

$$2x+3y=15,2x+2y=12$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+3y=15 तल्यान 2x+2y=12 वजा करचो.

$$2x-2x+3y-2y=15-12$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y-2y=15-12$$

-2y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$y=15-12$$

-12 कडेन 15 ची बेरीज करची.

$$y=3$$

x+y=6 त y खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+3=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें.

$$x=3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=3,y=3$$