सोडोवचें {l}{2x+3y=100}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 100 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=26$$

$$y=16$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=100$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+100$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+100\right)$$

-3y+100क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+50$$

x+y=42 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+50 बदलपी घेवचो.

$$-\frac{3}{2}y+50+y=42$$

y कडेन -\frac{3y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{2}y+50=42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 50 वजा करचें.

$$-\frac{1}{2}y=-8$$

दोनूय कुशीनीं -2 न गुणचें.

$$y=16$$

x=-\frac{3}{2}y+50 त y खातीर 16 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times 16+50$$

16क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-24+50$$

-24 कडेन 50 ची बेरीज करची.

$$x=26$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=26,y=16$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{3}{2-3}\\-\frac{1}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100+3\times 42\\100-2\times 42\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=26,y=16$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

2x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2x+3y=100,2x+2y=2\times 42$$

सोंपें करचें.

$$2x+3y=100,2x+2y=84$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+3y=100 तल्यान 2x+2y=84 वजा करचो.

$$2x-2x+3y-2y=100-84$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3y-2y=100-84$$

-2y कडेन 3y ची बेरीज करची.

$$y=100-84$$

-84 कडेन 100 ची बेरीज करची.

$$y=16$$

x+y=42 त y खातीर 16 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+16=42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 16 वजा करचें.

$$x=26$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=26,y=16$$