सोडोवचें {l}{2x+3y=10}{4x+8y=32}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 8 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-4$$

$$y=6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=10,4x+8y=32$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+10$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

-3y+10क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

4x+8y=32 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+5 बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+8y=32$$

-\frac{3y}{2}+5क 4 फावटी गुणचें.

$$-6y+20+8y=32$$

8y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$2y+20=32$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$2y=12$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=6$$

x=-\frac{3}{2}y+5 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

6क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-9+5$$

-9 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=10,4x+8y=32$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\32\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\32\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 8-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-3\times 4}&\frac{2}{2\times 8-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\32\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{4}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\32\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{3}{4}\times 32\\-10+\frac{1}{2}\times 32\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-4,y=6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=10,4x+8y=32$$

2x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 8y=2\times 32$$

सोंपें करचें.

$$8x+12y=40,8x+16y=64$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x+12y=40 तल्यान 8x+16y=64 वजा करचो.

$$8x-8x+12y-16y=40-64$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y-16y=40-64$$

-16y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$-4y=40-64$$

-64 कडेन 40 ची बेरीज करची.

$$-4y=-24$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=6$$

4x+8y=32 त y खातीर 6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+8\times 6=32$$

6क 8 फावटी गुणचें.

$$4x+48=32$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 48 वजा करचें.

$$4x=-16$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=6$$