सोडोवचें {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=38$$

$$y=-22$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+10$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

-3y+10क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

4x+5y=42 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+5 बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

-\frac{3y}{2}+5क 4 फावटी गुणचें.

$$-6y+20+5y=42$$

5y कडेन -6y ची बेरीज करची.

$$-y+20=42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$-y=22$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$y=-22$$

x=-\frac{3}{2}y+5 त y खातीर -22 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

-22क -\frac{3}{2} फावटी गुणचें.

$$x=33+5$$

33 कडेन 5 ची बेरीज करची.

$$x=38$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=38,y=-22$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=38,y=-22$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

2x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

सोंपें करचें.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 8x+12y=40 तल्यान 8x+10y=84 वजा करचो.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

-8x कडेन 8x ची बेरीज करची. अटी 8x आनी -8x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12y-10y=40-84$$

-10y कडेन 12y ची बेरीज करची.

$$2y=40-84$$

-84 कडेन 40 ची बेरीज करची.

$$2y=-44$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=-22$$

4x+5y=42 त y खातीर -22 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

-22क 5 फावटी गुणचें.

$$4x-110=42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 110 ची बेरीज करची.

$$4x=152$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=38$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=38,y=-22$$