सोडोवचें {l}{2x+3y=10}{3x+4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 3 x + 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=5$$

$$y=0$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+3y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$2x=-3y+10$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

-3y+10क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

3x+4y=15 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{3y}{2}+5 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+4y=15$$

-\frac{3y}{2}+5क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{2}y+15+4y=15$$

4y कडेन -\frac{9y}{2} ची बेरीज करची.

$$-\frac{1}{2}y+15=15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$-\frac{1}{2}y=0$$

दोनूय कुशीनीं -2 न गुणचें.

$$y=0$$

x=-\frac{3}{2}y+5 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=0$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{2\times 4-3\times 3}&\frac{2}{2\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 10+3\times 15\\3\times 10-2\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=5,y=0$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+3y=10,3x+4y=15$$

2x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 10,2\times 3x+2\times 4y=2\times 15$$

सोंपें करचें.

$$6x+9y=30,6x+8y=30$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6x+9y=30 तल्यान 6x+8y=30 वजा करचो.

$$6x-6x+9y-8y=30-30$$

-6x कडेन 6x ची बेरीज करची. अटी 6x आनी -6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$9y-8y=30-30$$

-8y कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$y=30-30$$

-30 कडेन 30 ची बेरीज करची.

$$y=0$$

3x+4y=15 त y खातीर 0 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x=15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=0$$