सोडोवचें {l}{2x+2y=28}{x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 28 } \\ { x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=9$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2x+2y=28$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$2x=-2y+28$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+28\right)$$

-2y+28क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$x=-y+14$$

x+3y=24 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -y+14 बदलपी घेवचो.

$$-y+14+3y=24$$

3y कडेन -y ची बेरीज करची.

$$2y+14=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 14 वजा करचें.

$$2y=10$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=5$$

x=-y+14 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-5+14$$

-5 कडेन 14 ची बेरीज करची.

$$x=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=9,y=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-2}&-\frac{2}{2\times 3-2}\\-\frac{1}{2\times 3-2}&\frac{2}{2\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 28-\frac{1}{2}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 28+\frac{1}{2}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=9,y=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2x+2y=28,x+3y=24$$

2x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2x+2y=28,2x+2\times 3y=2\times 24$$

सोंपें करचें.

$$2x+2y=28,2x+6y=48$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2x+2y=28 तल्यान 2x+6y=48 वजा करचो.

$$2x-2x+2y-6y=28-48$$

-2x कडेन 2x ची बेरीज करची. अटी 2x आनी -2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2y-6y=28-48$$

-6y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$-4y=28-48$$

-48 कडेन 28 ची बेरीज करची.

$$-4y=-20$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=5$$

x+3y=24 त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+3\times 5=24$$

5क 3 फावटी गुणचें.

$$x+15=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 15 वजा करचें.

$$x=9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=9,y=5$$