सोडोवचें {l}{2w+1n=5050}{3w+2n=9050}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 w + 1 n = 5050 } \\ { 3 w + 2 n = 9050 } \end{array} \right.$$

w, n खातीर सोडोवचें

$$w=1050$$

$$n=2950$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक w वेगळावन w खातीर तें सोडोवचें.

$$2w+n=5050$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान n वजा करचें.

$$2w=-n+5050$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$w=\frac{1}{2}\left(-n+5050\right)$$

-n+5050क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$w=-\frac{1}{2}n+2525$$

3w+2n=9050 ह्या दुस-या समिकरणांत w खातीर -\frac{n}{2}+2525 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{1}{2}n+2525\right)+2n=9050$$

-\frac{n}{2}+2525क 3 फावटी गुणचें.

$$-\frac{3}{2}n+7575+2n=9050$$

2n कडेन -\frac{3n}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{1}{2}n+7575=9050$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7575 वजा करचें.

$$\frac{1}{2}n=1475$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$n=2950$$

w=-\frac{1}{2}n+2525 त n खातीर 2950 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी w खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$w=-\frac{1}{2}\times 2950+2525$$

2950क -\frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$w=-1475+2525$$

-1475 कडेन 2525 ची बेरीज करची.

$$w=1050$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$w=1050,n=2950$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{1}{2\times 2-3}\\-\frac{3}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5050\\9050\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5050-9050\\-3\times 5050+2\times 9050\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}w\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1050\\2950\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां w आनी n काडचीं.

$$w=1050,n=2950$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2w+n=5050,3w+2n=9050$$

2w आनी 3w बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$3\times 2w+3n=3\times 5050,2\times 3w+2\times 2n=2\times 9050$$

सोंपें करचें.

$$6w+3n=15150,6w+4n=18100$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 6w+3n=15150 तल्यान 6w+4n=18100 वजा करचो.

$$6w-6w+3n-4n=15150-18100$$

-6w कडेन 6w ची बेरीज करची. अटी 6w आनी -6w रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$3n-4n=15150-18100$$

-4n कडेन 3n ची बेरीज करची.

$$-n=15150-18100$$

-18100 कडेन 15150 ची बेरीज करची.

$$-n=-2950$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$n=2950$$

3w+2n=9050 त n खातीर 2950 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी w खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3w+2\times 2950=9050$$

2950क 2 फावटी गुणचें.

$$3w+5900=9050$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5900 वजा करचें.

$$3w=3150$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$w=1050$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$w=1050,n=2950$$