सोडोवचें {l}{2n-3m=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

n, m खातीर सोडोवचें

$$n=2$$

$$m=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक n वेगळावन n खातीर तें सोडोवचें.

$$2n-3m=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3m ची बेरीज करची.

$$2n=3m+1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

3m+1क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

n+m=3 ह्या दुस-या समिकरणांत n खातीर \frac{3m+1}{2} बदलपी घेवचो.

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

m कडेन \frac{3m}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2} वजा करचें.

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

\frac{5}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$m=1$$

n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2} त m खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी n खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$n=\frac{3+1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{3}{2} क \frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$n=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$n=2,m=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां n आनी m काडचीं.

$$n=2,m=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

2n आनी n बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

सोंपें करचें.

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2n-3m=1 तल्यान 2n+2m=6 वजा करचो.

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

-2n कडेन 2n ची बेरीज करची. अटी 2n आनी -2n रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-3m-2m=1-6$$

-2m कडेन -3m ची बेरीज करची.

$$-5m=1-6$$

-6 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$-5m=-5$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$m=1$$

n+m=3 त m खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी n खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$n+1=3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$n=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$n=2,m=1$$