सोडोवचें {l}{2m-3n=1}{m+n=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 1 } \\ { m + n = - 3 } \end{array} \right.$$

m, n खातीर सोडोवचें

$$m = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$n = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2m-3n=1,m+n=-3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक m वेगळावन m खातीर तें सोडोवचें.

$$2m-3n=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3n ची बेरीज करची.

$$2m=3n+1$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+1\right)$$

3n+1क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

m+n=-3 ह्या दुस-या समिकरणांत m खातीर \frac{3n+1}{2} बदलपी घेवचो.

$$\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}+n=-3$$

n कडेन \frac{3n}{2} ची बेरीज करची.

$$\frac{5}{2}n+\frac{1}{2}=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{2} वजा करचें.

$$\frac{5}{2}n=-\frac{7}{2}$$

\frac{5}{2} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$n=-\frac{7}{5}$$

m=\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} त n खातीर -\frac{7}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{7}{5}\right)+\frac{1}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{7}{5} क \frac{3}{2} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=-\frac{21}{10}+\frac{1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{21}{10} क \frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$m=-\frac{8}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=-\frac{8}{5},n=-\frac{7}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2m-3n=1,m+n=-3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\left(-3\right)\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां m आनी n काडचीं.

$$m=-\frac{8}{5},n=-\frac{7}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2m-3n=1,m+n=-3$$

2m आनी m बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$2m-3n=1,2m+2n=2\left(-3\right)$$

सोंपें करचें.

$$2m-3n=1,2m+2n=-6$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2m-3n=1 तल्यान 2m+2n=-6 वजा करचो.

$$2m-2m-3n-2n=1+6$$

-2m कडेन 2m ची बेरीज करची. अटी 2m आनी -2m रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-3n-2n=1+6$$

-2n कडेन -3n ची बेरीज करची.

$$-5n=1+6$$

6 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$-5n=7$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$n=-\frac{7}{5}$$

m+n=-3 त n खातीर -\frac{7}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी m खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$m-\frac{7}{5}=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{5} ची बेरीज करची.

$$m=-\frac{8}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$m=-\frac{8}{5},n=-\frac{7}{5}$$