सोडोवचें {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें (जटील सोल्यूशन)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2bx+ay=2ab$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान ay वजा करचें.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

दोनुय कुशींक 2b न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

a\left(-y+2b\right)क \frac{1}{2b} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

bx+\left(-a\right)y=4ab ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर a-\frac{ay}{2b} बदलपी घेवचो.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

a-\frac{ay}{2b}क b फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-ay कडेन -\frac{ay}{2} ची बेरीज करची.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान ba वजा करचें.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

दोनुय कुशींक -\frac{3a}{2} न भाग लावचो.

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a त y खातीर -2b बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-2bक -\frac{a}{2b} फावटी गुणचें.

$$x=a+a$$

a कडेन a ची बेरीज करची.

$$x=2a$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2a,y=-2b$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2a,y=-2b$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx आनी bx बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक b न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2b न गुणचें.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

सोंपें करचें.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2b^{2}x+aby=2ab^{2} तल्यान 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} वजा करचो.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-2b^{2}x कडेन 2b^{2}x ची बेरीज करची. अटी 2b^{2}x आनी -2b^{2}x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2bay कडेन bay ची बेरीज करची.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-8ab^{2} कडेन 2ab^{2} ची बेरीज करची.

$$3aby=-6ab^{2}$$

दोनुय कुशींक 3ba न भाग लावचो.

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab त y खातीर -2b बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-2bक -a फावटी गुणचें.

$$bx+2ab=4ab$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2ba वजा करचें.

$$bx=2ab$$

दोनुय कुशींक b न भाग लावचो.

$$x=2a$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2a,y=-2b$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$2bx+ay=2ab$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान ay वजा करचें.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

दोनुय कुशींक 2b न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

a\left(-y+2b\right)क \frac{1}{2b} फावटी गुणचें.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

bx+\left(-a\right)y=4ab ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर a-\frac{ay}{2b} बदलपी घेवचो.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

a-\frac{ay}{2b}क b फावटी गुणचें.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

-ay कडेन -\frac{ay}{2} ची बेरीज करची.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान ba वजा करचें.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

दोनुय कुशींक -\frac{3a}{2} न भाग लावचो.

$$y=-2b$$

x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a त y खातीर -2b बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

-2bक -\frac{a}{2b} फावटी गुणचें.

$$x=a+a$$

a कडेन a ची बेरीज करची.

$$x=2a$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2a,y=-2b$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2a,y=-2b$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

2bx आनी bx बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक b न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2b न गुणचें.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

सोंपें करचें.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2b^{2}x+aby=2ab^{2} तल्यान 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} वजा करचो.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-2b^{2}x कडेन 2b^{2}x ची बेरीज करची. अटी 2b^{2}x आनी -2b^{2}x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

2bay कडेन bay ची बेरीज करची.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

-8ab^{2} कडेन 2ab^{2} ची बेरीज करची.

$$3aby=-6ab^{2}$$

दोनुय कुशींक 3ba न भाग लावचो.

$$y=-2b$$

bx+\left(-a\right)y=4ab त y खातीर -2b बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

-2bक -a फावटी गुणचें.

$$bx+2ab=4ab$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2ba वजा करचें.

$$bx=2ab$$

दोनुय कुशींक b न भाग लावचो.

$$x=2a$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2a,y=-2b$$