सोडोवचें {l}{2a+7b=53}{6a-5b=-23}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 7 b = 53 } \\ { 6 a - 5 b = - 23 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a=2$$

$$b=7$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$2a+7b=53,6a-5b=-23$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$2a+7b=53$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7b वजा करचें.

$$2a=-7b+53$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{2}\left(-7b+53\right)$$

-7b+53क \frac{1}{2} फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{7}{2}b+\frac{53}{2}$$

6a-5b=-23 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर \frac{-7b+53}{2} बदलपी घेवचो.

$$6\left(-\frac{7}{2}b+\frac{53}{2}\right)-5b=-23$$

\frac{-7b+53}{2}क 6 फावटी गुणचें.

$$-21b+159-5b=-23$$

-5b कडेन -21b ची बेरीज करची.

$$-26b+159=-23$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 159 वजा करचें.

$$-26b=-182$$

दोनुय कुशींक -26 न भाग लावचो.

$$b=7$$

a=-\frac{7}{2}b+\frac{53}{2} त b खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-\frac{7}{2}\times 7+\frac{53}{2}$$

7क -\frac{7}{2} फावटी गुणचें.

$$a=\frac{-49+53}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{49}{2} क \frac{53}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=2,b=7$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$2a+7b=53,6a-5b=-23$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\-23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&7\\6&-5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\-23\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\-23\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53\\-23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 6}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-7\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\-23\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{52}&\frac{7}{52}\\\frac{3}{26}&-\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}53\\-23\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{52}\times 53+\frac{7}{52}\left(-23\right)\\\frac{3}{26}\times 53-\frac{1}{26}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=2,b=7$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$2a+7b=53,6a-5b=-23$$

2a आनी 6a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न गुणचें.

$$6\times 2a+6\times 7b=6\times 53,2\times 6a+2\left(-5\right)b=2\left(-23\right)$$

सोंपें करचें.

$$12a+42b=318,12a-10b=-46$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12a+42b=318 तल्यान 12a-10b=-46 वजा करचो.

$$12a-12a+42b+10b=318+46$$

-12a कडेन 12a ची बेरीज करची. अटी 12a आनी -12a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$42b+10b=318+46$$

10b कडेन 42b ची बेरीज करची.

$$52b=318+46$$

46 कडेन 318 ची बेरीज करची.

$$52b=364$$

दोनुय कुशींक 52 न भाग लावचो.

$$b=7$$

6a-5b=-23 त b खातीर 7 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$6a-5\times 7=-23$$

7क -5 फावटी गुणचें.

$$6a-35=-23$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 35 ची बेरीज करची.

$$6a=12$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$a=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=2,b=7$$