सोडोवचें {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$16x-10y=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10y ची बेरीज करची.

$$16x=10y+10$$

दोनुय कुशींक 16 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

10+10yक \frac{1}{16} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

-8x-6y=6 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5+5y}{8} बदलपी घेवचो.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

\frac{5+5y}{8}क -8 फावटी गुणचें.

$$-5y-5-6y=6$$

-6y कडेन -5y ची बेरीज करची.

$$-11y-5=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5 ची बेरीज करची.

$$-11y=11$$

दोनुय कुशींक -11 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

-1क \frac{5}{8} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{5}{8} क \frac{5}{8} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

16x आनी -8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 16 न गुणचें.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

सोंपें करचें.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -128x+80y=-80 तल्यान -128x-96y=96 वजा करचो.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

128x कडेन -128x ची बेरीज करची. अटी -128x आनी 128x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$80y+96y=-80-96$$

96y कडेन 80y ची बेरीज करची.

$$176y=-80-96$$

-96 कडेन -80 ची बेरीज करची.

$$176y=-176$$

दोनुय कुशींक 176 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

-8x-6y=6 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

-1क -6 फावटी गुणचें.

$$-8x+6=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$-8x=0$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-1$$