सोडोवचें {l}{16x+2y=-52}{9x+15y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x + 2 y = - 52 } \\ { 9 x + 15 y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = -\frac{142}{37} = -3\frac{31}{37} \approx -3.837837838$$

$$y = \frac{174}{37} = 4\frac{26}{37} \approx 4.702702703$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$16x+2y=-52,9x+15y=36$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$16x+2y=-52$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$16x=-2y-52$$

दोनुय कुशींक 16 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{16}\left(-2y-52\right)$$

-2y-52क \frac{1}{16} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{8}y-\frac{13}{4}$$

9x+15y=36 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{8}-\frac{13}{4} बदलपी घेवचो.

$$9\left(-\frac{1}{8}y-\frac{13}{4}\right)+15y=36$$

-\frac{y}{8}-\frac{13}{4}क 9 फावटी गुणचें.

$$-\frac{9}{8}y-\frac{117}{4}+15y=36$$

15y कडेन -\frac{9y}{8} ची बेरीज करची.

$$\frac{111}{8}y-\frac{117}{4}=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{117}{4} ची बेरीज करची.

$$\frac{111}{8}y=\frac{261}{4}$$

\frac{111}{8} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{174}{37}$$

x=-\frac{1}{8}y-\frac{13}{4} त y खातीर \frac{174}{37} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{174}{37}-\frac{13}{4}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{174}{37} क -\frac{1}{8} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{87}{148}-\frac{13}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{87}{148} क -\frac{13}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{142}{37}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{142}{37},y=\frac{174}{37}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$16x+2y=-52,9x+15y=36$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}16&2\\9&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-52\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}16&2\\9&15\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\9&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&2\\9&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\9&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-52\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\9&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-52\\36\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&2\\9&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-52\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16\times 15-2\times 9}&-\frac{2}{16\times 15-2\times 9}\\-\frac{9}{16\times 15-2\times 9}&\frac{16}{16\times 15-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-52\\36\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{74}&-\frac{1}{111}\\-\frac{3}{74}&\frac{8}{111}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-52\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{74}\left(-52\right)-\frac{1}{111}\times 36\\-\frac{3}{74}\left(-52\right)+\frac{8}{111}\times 36\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{142}{37}\\\frac{174}{37}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{142}{37},y=\frac{174}{37}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$16x+2y=-52,9x+15y=36$$

16x आनी 9x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 16 न गुणचें.

$$9\times 16x+9\times 2y=9\left(-52\right),16\times 9x+16\times 15y=16\times 36$$

सोंपें करचें.

$$144x+18y=-468,144x+240y=576$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 144x+18y=-468 तल्यान 144x+240y=576 वजा करचो.

$$144x-144x+18y-240y=-468-576$$

-144x कडेन 144x ची बेरीज करची. अटी 144x आनी -144x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$18y-240y=-468-576$$

-240y कडेन 18y ची बेरीज करची.

$$-222y=-468-576$$

-576 कडेन -468 ची बेरीज करची.

$$-222y=-1044$$

दोनुय कुशींक -222 न भाग लावचो.

$$y=\frac{174}{37}$$

9x+15y=36 त y खातीर \frac{174}{37} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$9x+15\times \frac{174}{37}=36$$

\frac{174}{37}क 15 फावटी गुणचें.

$$9x+\frac{2610}{37}=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2610}{37} वजा करचें.

$$9x=-\frac{1278}{37}$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{142}{37}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{142}{37},y=\frac{174}{37}$$