सोडोवचें {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$13x+20y=48$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20y वजा करचें.

$$13x=-20y+48$$

दोनुय कुशींक 13 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

-20y+48क \frac{1}{13} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

20x+93y=1 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-20y+48}{13} बदलपी घेवचो.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

\frac{-20y+48}{13}क 20 फावटी गुणचें.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

93y कडेन -\frac{400y}{13} ची बेरीज करची.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{960}{13} वजा करचें.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

\frac{809}{13} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{947}{809}$$

x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13} त y खातीर -\frac{947}{809} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{947}{809} क -\frac{20}{13} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{18940}{10517} क \frac{48}{13} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{4444}{809}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

13x आनी 20x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 20 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 13 न गुणचें.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

सोंपें करचें.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 260x+400y=960 तल्यान 260x+1209y=13 वजा करचो.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

-260x कडेन 260x ची बेरीज करची. अटी 260x आनी -260x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$400y-1209y=960-13$$

-1209y कडेन 400y ची बेरीज करची.

$$-809y=960-13$$

-13 कडेन 960 ची बेरीज करची.

$$-809y=947$$

दोनुय कुशींक -809 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{947}{809}$$

20x+93y=1 त y खातीर -\frac{947}{809} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

-\frac{947}{809}क 93 फावटी गुणचें.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{88071}{809} ची बेरीज करची.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

दोनुय कुशींक 20 न भाग लावचो.

$$x=\frac{4444}{809}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$