सोडोवचें {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$12x+4y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$12x=-4y+6$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

-4y+6क \frac{1}{12} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

9x+16y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} बदलपी घेवचो.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

-\frac{y}{3}+\frac{1}{2}क 9 फावटी गुणचें.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

16y कडेन -3y ची बेरीज करची.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{2} वजा करचें.

$$13y=\frac{7}{2}$$

दोनुय कुशींक 13 न भाग लावचो.

$$y=\frac{7}{26}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} त y खातीर \frac{7}{26} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{7}{26} क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{7}{78} क \frac{1}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{16}{39}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

12x आनी 9x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 9 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 12 न गुणचें.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

सोंपें करचें.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 108x+36y=54 तल्यान 108x+192y=96 वजा करचो.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

-108x कडेन 108x ची बेरीज करची. अटी 108x आनी -108x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$36y-192y=54-96$$

-192y कडेन 36y ची बेरीज करची.

$$-156y=54-96$$

-96 कडेन 54 ची बेरीज करची.

$$-156y=-42$$

दोनुय कुशींक -156 न भाग लावचो.

$$y=\frac{7}{26}$$

9x+16y=8 त y खातीर \frac{7}{26} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

\frac{7}{26}क 16 फावटी गुणचें.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{56}{13} वजा करचें.

$$9x=\frac{48}{13}$$

दोनुय कुशींक 9 न भाग लावचो.

$$x=\frac{16}{39}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$