सोडोवचें {l}{12f+4g=36}{12f+6g=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 f + 4 g = 36 } \\ { 12 f + 6 g = 42 } \end{array} \right.$$

f, g खातीर सोडोवचें

$$f=2$$

$$g=3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$12f+4g=36,12f+6g=42$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक f वेगळावन f खातीर तें सोडोवचें.

$$12f+4g=36$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4g वजा करचें.

$$12f=-4g+36$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$f=\frac{1}{12}\left(-4g+36\right)$$

-4g+36क \frac{1}{12} फावटी गुणचें.

$$f=-\frac{1}{3}g+3$$

12f+6g=42 ह्या दुस-या समिकरणांत f खातीर -\frac{g}{3}+3 बदलपी घेवचो.

$$12\left(-\frac{1}{3}g+3\right)+6g=42$$

-\frac{g}{3}+3क 12 फावटी गुणचें.

$$-4g+36+6g=42$$

6g कडेन -4g ची बेरीज करची.

$$2g+36=42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 36 वजा करचें.

$$2g=6$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$g=3$$

f=-\frac{1}{3}g+3 त g खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी f खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$f=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

3क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$f=-1+3$$

-1 कडेन 3 ची बेरीज करची.

$$f=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$f=2,g=3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$12f+4g=36,12f+6g=42$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\12&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\42\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&4\\12&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\12&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\42\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\12&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\42\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{12\times 6-4\times 12}&-\frac{4}{12\times 6-4\times 12}\\-\frac{12}{12\times 6-4\times 12}&\frac{12}{12\times 6-4\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\42\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\42\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 36-\frac{1}{6}\times 42\\-\frac{1}{2}\times 36+\frac{1}{2}\times 42\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां f आनी g काडचीं.

$$f=2,g=3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$12f+4g=36,12f+6g=42$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 12f+4g=36 तल्यान 12f+6g=42 वजा करचो.

$$12f-12f+4g-6g=36-42$$

-12f कडेन 12f ची बेरीज करची. अटी 12f आनी -12f रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$4g-6g=36-42$$

-6g कडेन 4g ची बेरीज करची.

$$-2g=36-42$$

-42 कडेन 36 ची बेरीज करची.

$$-2g=-6$$

दोनुय कुशींक -2 न भाग लावचो.

$$g=3$$

12f+6g=42 त g खातीर 3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी f खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$12f+6\times 3=42$$

3क 6 फावटी गुणचें.

$$12f+18=42$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 वजा करचें.

$$12f=24$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$f=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$f=2,g=3$$