सोडोवचें {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a=-1$$

$$b=2$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$12a+4b=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4b वजा करचें.

$$12a=-4b-4$$

दोनुय कुशींक 12 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

-4b-4क \frac{1}{12} फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

3a-9b=-21 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर \frac{-b-1}{3} बदलपी घेवचो.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

\frac{-b-1}{3}क 3 फावटी गुणचें.

$$-b-1-9b=-21$$

-9b कडेन -b ची बेरीज करची.

$$-10b-1=-21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 ची बेरीज करची.

$$-10b=-20$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$b=2$$

a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3} त b खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

2क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{2}{3} क -\frac{1}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-1,b=2$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=-1,b=2$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

12a आनी 3a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 12 न गुणचें.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

सोंपें करचें.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 36a+12b=-12 तल्यान 36a-108b=-252 वजा करचो.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

-36a कडेन 36a ची बेरीज करची. अटी 36a आनी -36a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$12b+108b=-12+252$$

108b कडेन 12b ची बेरीज करची.

$$120b=-12+252$$

252 कडेन -12 ची बेरीज करची.

$$120b=240$$

दोनुय कुशींक 120 न भाग लावचो.

$$b=2$$

3a-9b=-21 त b खातीर 2 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3a-9\times 2=-21$$

2क -9 फावटी गुणचें.

$$3a-18=-21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 ची बेरीज करची.

$$3a=-3$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$a=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-1,b=2$$