सोडोवचें {l}{11a=5b+48}{7a=13b-840}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 a = 5 b + 48 } \\ { 7 a = 13 b - 840 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a = \frac{134}{3} = 44\frac{2}{3} \approx 44.666666667$$

$$b = \frac{266}{3} = 88\frac{2}{3} \approx 88.666666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 5b वजा करचें.

$$11a-5b=48$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 13b वजा करचें.

$$7a-13b=-840$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$11a-5b=48$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5b ची बेरीज करची.

$$11a=5b+48$$

दोनुय कुशींक 11 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{11}\left(5b+48\right)$$

5b+48क \frac{1}{11} फावटी गुणचें.

$$a=\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}$$

7a-13b=-840 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर \frac{5b+48}{11} बदलपी घेवचो.

$$7\left(\frac{5}{11}b+\frac{48}{11}\right)-13b=-840$$

\frac{5b+48}{11}क 7 फावटी गुणचें.

$$\frac{35}{11}b+\frac{336}{11}-13b=-840$$

-13b कडेन \frac{35b}{11} ची बेरीज करची.

$$-\frac{108}{11}b+\frac{336}{11}=-840$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{336}{11} वजा करचें.

$$-\frac{108}{11}b=-\frac{9576}{11}$$

-\frac{108}{11} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=\frac{266}{3}$$

a=\frac{5}{11}b+\frac{48}{11} त b खातीर \frac{266}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=\frac{5}{11}\times \frac{266}{3}+\frac{48}{11}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{266}{3} क \frac{5}{11} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=\frac{1330}{33}+\frac{48}{11}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{1330}{33} क \frac{48}{11} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=\frac{134}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 5b वजा करचें.

$$11a-5b=48$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 13b वजा करचें.

$$7a-13b=-840$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&-5\\7&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{11}{11\left(-13\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{108}&-\frac{5}{108}\\\frac{7}{108}&-\frac{11}{108}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-840\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{108}\times 48-\frac{5}{108}\left(-840\right)\\\frac{7}{108}\times 48-\frac{11}{108}\left(-840\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{3}\\\frac{266}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 5b वजा करचें.

$$11a-5b=48$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 13b वजा करचें.

$$7a-13b=-840$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$11a-5b=48,7a-13b=-840$$

11a आनी 7a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 11 न गुणचें.

$$7\times 11a+7\left(-5\right)b=7\times 48,11\times 7a+11\left(-13\right)b=11\left(-840\right)$$

सोंपें करचें.

$$77a-35b=336,77a-143b=-9240$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 77a-35b=336 तल्यान 77a-143b=-9240 वजा करचो.

$$77a-77a-35b+143b=336+9240$$

-77a कडेन 77a ची बेरीज करची. अटी 77a आनी -77a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-35b+143b=336+9240$$

143b कडेन -35b ची बेरीज करची.

$$108b=336+9240$$

9240 कडेन 336 ची बेरीज करची.

$$108b=9576$$

दोनुय कुशींक 108 न भाग लावचो.

$$b=\frac{266}{3}$$

7a-13b=-840 त b खातीर \frac{266}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7a-13\times \frac{266}{3}=-840$$

\frac{266}{3}क -13 फावटी गुणचें.

$$7a-\frac{3458}{3}=-840$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{3458}{3} ची बेरीज करची.

$$7a=\frac{938}{3}$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$a=\frac{134}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=\frac{134}{3},b=\frac{266}{3}$$