सोडोवचें {l}{10x-6y=22}{8x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x - 6 y = 22 } \\ { 8 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{23}{29}\approx 0.793103448$$

$$y = -\frac{68}{29} = -2\frac{10}{29} \approx -2.344827586$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$10x-6y=22,8x+y=4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$10x-6y=22$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6y ची बेरीज करची.

$$10x=6y+22$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=\frac{1}{10}\left(6y+22\right)$$

6y+22क \frac{1}{10} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}$$

8x+y=4 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y+11}{5} बदलपी घेवचो.

$$8\left(\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)+y=4$$

\frac{3y+11}{5}क 8 फावटी गुणचें.

$$\frac{24}{5}y+\frac{88}{5}+y=4$$

y कडेन \frac{24y}{5} ची बेरीज करची.

$$\frac{29}{5}y+\frac{88}{5}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{88}{5} वजा करचें.

$$\frac{29}{5}y=-\frac{68}{5}$$

\frac{29}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-\frac{68}{29}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5} त y खातीर -\frac{68}{29} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{68}{29}\right)+\frac{11}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून -\frac{68}{29} क \frac{3}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{204}{145}+\frac{11}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{204}{145} क \frac{11}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{23}{29}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{23}{29},y=-\frac{68}{29}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$10x-6y=22,8x+y=4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-6\\8&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-6\times 8\right)}&-\frac{-6}{10-\left(-6\times 8\right)}\\-\frac{8}{10-\left(-6\times 8\right)}&\frac{10}{10-\left(-6\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{58}&\frac{3}{29}\\-\frac{4}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{58}\times 22+\frac{3}{29}\times 4\\-\frac{4}{29}\times 22+\frac{5}{29}\times 4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{29}\\-\frac{68}{29}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{23}{29},y=-\frac{68}{29}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$10x-6y=22,8x+y=4$$

10x आनी 8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न गुणचें.

$$8\times 10x+8\left(-6\right)y=8\times 22,10\times 8x+10y=10\times 4$$

सोंपें करचें.

$$80x-48y=176,80x+10y=40$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 80x-48y=176 तल्यान 80x+10y=40 वजा करचो.

$$80x-80x-48y-10y=176-40$$

-80x कडेन 80x ची बेरीज करची. अटी 80x आनी -80x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-48y-10y=176-40$$

-10y कडेन -48y ची बेरीज करची.

$$-58y=176-40$$

-40 कडेन 176 ची बेरीज करची.

$$-58y=136$$

दोनुय कुशींक -58 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{68}{29}$$

8x+y=4 त y खातीर -\frac{68}{29} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$8x-\frac{68}{29}=4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{68}{29} ची बेरीज करची.

$$8x=\frac{184}{29}$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=\frac{23}{29}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{23}{29},y=-\frac{68}{29}$$