सोडोवचें {l}{1x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{72}{5} = 14\frac{2}{5} = 14.4$$

$$y = \frac{332}{5} = 66\frac{2}{5} = 66.4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+4y=280$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4y वजा करचें.

$$x=-4y+280$$

4x+y=124 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -4y+280 बदलपी घेवचो.

$$4\left(-4y+280\right)+y=124$$

-4y+280क 4 फावटी गुणचें.

$$-16y+1120+y=124$$

y कडेन -16y ची बेरीज करची.

$$-15y+1120=124$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1120 वजा करचें.

$$-15y=-996$$

दोनुय कुशींक -15 न भाग लावचो.

$$y=\frac{332}{5}$$

x=-4y+280 त y खातीर \frac{332}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-4\times \frac{332}{5}+280$$

\frac{332}{5}क -4 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1328}{5}+280$$

-\frac{1328}{5} कडेन 280 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{72}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 4}&-\frac{4}{1-4\times 4}\\-\frac{4}{1-4\times 4}&\frac{1}{1-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{4}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 280+\frac{4}{15}\times 124\\\frac{4}{15}\times 280-\frac{1}{15}\times 124\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{72}{5}\\\frac{332}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+4y=280,4x+y=124$$

x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$4x+4\times 4y=4\times 280,4x+y=124$$

सोंपें करचें.

$$4x+16y=1120,4x+y=124$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 4x+16y=1120 तल्यान 4x+y=124 वजा करचो.

$$4x-4x+16y-y=1120-124$$

-4x कडेन 4x ची बेरीज करची. अटी 4x आनी -4x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$16y-y=1120-124$$

-y कडेन 16y ची बेरीज करची.

$$15y=1120-124$$

-124 कडेन 1120 ची बेरीज करची.

$$15y=996$$

दोनुय कुशींक 15 न भाग लावचो.

$$y=\frac{332}{5}$$

4x+y=124 त y खातीर \frac{332}{5} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x+\frac{332}{5}=124$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{332}{5} वजा करचें.

$$4x=\frac{288}{5}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=\frac{72}{5}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{72}{5},y=\frac{332}{5}$$