सोडोवचें {l}{1x+3y=9}{3x+2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 x + 3 y = 9 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$x+3y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$x=-3y+9$$

3x+2y=8 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -3y+9 बदलपी घेवचो.

$$3\left(-3y+9\right)+2y=8$$

-3y+9क 3 फावटी गुणचें.

$$-9y+27+2y=8$$

2y कडेन -9y ची बेरीज करची.

$$-7y+27=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 27 वजा करचें.

$$-7y=-19$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{19}{7}$$

x=-3y+9 त y खातीर \frac{19}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-3\times \frac{19}{7}+9$$

\frac{19}{7}क -3 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{57}{7}+9$$

-\frac{57}{7} कडेन 9 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{6}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-3\times 3}&-\frac{3}{2-3\times 3}\\-\frac{3}{2-3\times 3}&\frac{1}{2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 9+\frac{3}{7}\times 8\\\frac{3}{7}\times 9-\frac{1}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$x+3y=9,3x+2y=8$$

x आनी 3x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 3 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$3x+3\times 3y=3\times 9,3x+2y=8$$

सोंपें करचें.

$$3x+9y=27,3x+2y=8$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 3x+9y=27 तल्यान 3x+2y=8 वजा करचो.

$$3x-3x+9y-2y=27-8$$

-3x कडेन 3x ची बेरीज करची. अटी 3x आनी -3x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$9y-2y=27-8$$

-2y कडेन 9y ची बेरीज करची.

$$7y=27-8$$

-8 कडेन 27 ची बेरीज करची.

$$7y=19$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$y=\frac{19}{7}$$

3x+2y=8 त y खातीर \frac{19}{7} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3x+2\times \frac{19}{7}=8$$

\frac{19}{7}क 2 फावटी गुणचें.

$$3x+\frac{38}{7}=8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{38}{7} वजा करचें.

$$3x=\frac{18}{7}$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=\frac{6}{7}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{6}{7},y=\frac{19}{7}$$