सोडोवचें {l}{1c+1V=16500}{2c+3V=40500}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 c + 1 V = 16500 } \\ { 2 c + 3 V = 40500 } \end{array} \right.$$

c, V खातीर सोडोवचें

$$c=9000$$

$$V=7500$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक c वेगळावन c खातीर तें सोडोवचें.

$$c+V=16500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान V वजा करचें.

$$c=-V+16500$$

2c+3V=40500 ह्या दुस-या समिकरणांत c खातीर -V+16500 बदलपी घेवचो.

$$2\left(-V+16500\right)+3V=40500$$

-V+16500क 2 फावटी गुणचें.

$$-2V+33000+3V=40500$$

3V कडेन -2V ची बेरीज करची.

$$V+33000=40500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 33000 वजा करचें.

$$V=7500$$

c=-V+16500 त V खातीर 7500 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी c खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$c=-7500+16500$$

-7500 कडेन 16500 ची बेरीज करची.

$$c=9000$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$c=9000,V=7500$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\40500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16500-40500\\-2\times 16500+40500\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}c\\V\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9000\\7500\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां c आनी V काडचीं.

$$c=9000,V=7500$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$c+V=16500,2c+3V=40500$$

c आनी 2c बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न गुणचें.

$$2c+2V=2\times 16500,2c+3V=40500$$

सोंपें करचें.

$$2c+2V=33000,2c+3V=40500$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 2c+2V=33000 तल्यान 2c+3V=40500 वजा करचो.

$$2c-2c+2V-3V=33000-40500$$

-2c कडेन 2c ची बेरीज करची. अटी 2c आनी -2c रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2V-3V=33000-40500$$

-3V कडेन 2V ची बेरीज करची.

$$-V=33000-40500$$

-40500 कडेन 33000 ची बेरीज करची.

$$-V=-7500$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$V=7500$$

2c+3V=40500 त V खातीर 7500 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी c खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2c+3\times 7500=40500$$

7500क 3 फावटी गुणचें.

$$2c+22500=40500$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 22500 वजा करचें.

$$2c=18000$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$c=9000$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$c=9000,V=7500$$