सोडोवचें {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$0.5x+y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$0.5x=-y+9$$

दोनूय कुशीनीं 2 न गुणचें.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

-y+9क 2 फावटी गुणचें.

$$x=-2y+18$$

1.6x+0.2y=13 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -2y+18 बदलपी घेवचो.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

-2y+18क 1.6 फावटी गुणचें.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

\frac{y}{5} कडेन -\frac{16y}{5} ची बेरीज करची.

$$-3y+28.8=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 28.8 वजा करचें.

$$-3y=-15.8$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$y=\frac{79}{15}$$

x=-2y+18 त y खातीर \frac{79}{15} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

\frac{79}{15}क -2 फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

-\frac{158}{15} कडेन 18 ची बेरीज करची.

$$x=\frac{112}{15}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{x}{2} आनी \frac{8x}{5} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1.6 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.5 न गुणचें.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

सोंपें करचें.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 0.8x+1.6y=14.4 तल्यान 0.8x+0.1y=6.5 वजा करचो.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

-\frac{4x}{5} कडेन \frac{4x}{5} ची बेरीज करची. अटी \frac{4x}{5} आनी -\frac{4x}{5} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

-\frac{y}{10} कडेन \frac{8y}{5} ची बेरीज करची.

$$1.5y=14.4-6.5$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -6.5 क 14.4 ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$1.5y=7.9$$

1.5 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{79}{15}$$

1.6x+0.2y=13 त y खातीर \frac{79}{15} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{79}{15} क 0.2 फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{79}{75} वजा करचें.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

1.6 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x=\frac{112}{15}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$