सोडोवचें {l}{0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9}{0.041x_{2}-0.002x_{3}=0.117}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.041 x _ { 3 } + 0.16 x _ { 2 } = 0.9 } \\ { 0.041 x _ { 2 } - 0.002 x _ { 3 } = 0.117 } \end{array} \right.$$

x_3, x_2 खातीर सोडोवचें

$$x_{3} = \frac{6060}{667} = 9\frac{57}{667} \approx 9.085457271$$

$$x_{2} = \frac{2199}{667} = 3\frac{198}{667} \approx 3.296851574$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x_{3} वेगळावन x_{3} खातीर तें सोडोवचें.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4x_{2}}{25} वजा करचें.

$$0.041x_{3}=-0.16x_{2}+0.9$$

0.041 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x_{3}=\frac{1000}{41}\left(-0.16x_{2}+0.9\right)$$

-\frac{4x_{2}}{25}+0.9क \frac{1000}{41} फावटी गुणचें.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}$$

-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 ह्या दुस-या समिकरणांत x_{3} खातीर \frac{-160x_{2}+900}{41} बदलपी घेवचो.

$$-0.002\left(-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41}\right)+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{-160x_{2}+900}{41}क -0.002 फावटी गुणचें.

$$\frac{8}{1025}x_{2}-\frac{9}{205}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{2}}{1000} कडेन \frac{8x_{2}}{1025} ची बेरीज करची.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}-\frac{9}{205}=0.117$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{9}{205} ची बेरीज करची.

$$\frac{2001}{41000}x_{2}=\frac{6597}{41000}$$

\frac{2001}{41000} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

x_{3}=-\frac{160}{41}x_{2}+\frac{900}{41} त x_{2} खातीर \frac{2199}{667} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x_{3} खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x_{3}=-\frac{160}{41}\times \frac{2199}{667}+\frac{900}{41}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{2199}{667} क -\frac{160}{41} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x_{3}=-\frac{351840}{27347}+\frac{900}{41}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{351840}{27347} क \frac{900}{41} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.041&0.16\\-0.002&0.041\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&-\frac{0.16}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\\-\frac{-0.002}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}&\frac{0.041}{0.041\times 0.041-0.16\left(-0.002\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}&-\frac{160000}{2001}\\\frac{2000}{2001}&\frac{41000}{2001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.9\\0.117\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41000}{2001}\times 0.9-\frac{160000}{2001}\times 0.117\\\frac{2000}{2001}\times 0.9+\frac{41000}{2001}\times 0.117\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x_{3}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6060}{667}\\\frac{2199}{667}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x_{3} आनी x_{2} काडचीं.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$0.041x_{3}+0.16x_{2}=0.9,-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117$$

\frac{41x_{3}}{1000} आनी -\frac{x_{3}}{500} बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -0.002 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 0.041 न गुणचें.

$$-0.002\times 0.041x_{3}-0.002\times 0.16x_{2}=-0.002\times 0.9,0.041\left(-0.002\right)x_{3}+0.041\times 0.041x_{2}=0.041\times 0.117$$

सोंपें करचें.

$$-0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018,-0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -0.000082x_{3}-0.00032x_{2}=-0.0018 तल्यान -0.000082x_{3}+0.001681x_{2}=0.004797 वजा करचो.

$$-0.000082x_{3}+0.000082x_{3}-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

\frac{41x_{3}}{500000} कडेन -\frac{41x_{3}}{500000} ची बेरीज करची. अटी -\frac{41x_{3}}{500000} आनी \frac{41x_{3}}{500000} रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-0.00032x_{2}-0.001681x_{2}=-0.0018-0.004797$$

-\frac{1681x_{2}}{1000000} कडेन -\frac{x_{2}}{3125} ची बेरीज करची.

$$-0.002001x_{2}=-0.0018-0.004797$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -0.004797 क -0.0018 ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$-0.002001x_{2}=-0.006597$$

-0.002001 वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$x_{2}=\frac{2199}{667}$$

-0.002x_{3}+0.041x_{2}=0.117 त x_{2} खातीर \frac{2199}{667} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x_{3} खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-0.002x_{3}+0.041\times \frac{2199}{667}=0.117$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{2199}{667} क 0.041 फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$-0.002x_{3}+\frac{90159}{667000}=0.117$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{90159}{667000} वजा करचें.

$$-0.002x_{3}=-\frac{303}{16675}$$

दोनूय कुशीनीं -500 न गुणचें.

$$x_{3}=\frac{6060}{667}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x_{3}=\frac{6060}{667},x_{2}=\frac{2199}{667}$$