सोडोवचें {l}{0=30a+6b+8}{4=4a-2b+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = 30 a + 6 b + 8 } \\ { 4 = 4 a - 2 b + 8 } \end{array} \right.$$

a, b खातीर सोडोवचें

$$a=-\frac{10}{21}\approx -0.476190476$$

$$b = \frac{22}{21} = 1\frac{1}{21} \approx 1.047619048$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$30a+6b+8=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$30a+6b=-8$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$4a-2b+8=4$$

दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$4a-2b=4-8$$

-4 मेळोवंक 4 आनी 8 वजा करचे.

$$4a-2b=-4$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$30a+6b=-8,4a-2b=-4$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक a वेगळावन a खातीर तें सोडोवचें.

$$30a+6b=-8$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6b वजा करचें.

$$30a=-6b-8$$

दोनुय कुशींक 30 न भाग लावचो.

$$a=\frac{1}{30}\left(-6b-8\right)$$

-6b-8क \frac{1}{30} फावटी गुणचें.

$$a=-\frac{1}{5}b-\frac{4}{15}$$

4a-2b=-4 ह्या दुस-या समिकरणांत a खातीर -\frac{b}{5}-\frac{4}{15} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{1}{5}b-\frac{4}{15}\right)-2b=-4$$

-\frac{b}{5}-\frac{4}{15}क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{4}{5}b-\frac{16}{15}-2b=-4$$

-2b कडेन -\frac{4b}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{14}{5}b-\frac{16}{15}=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{16}{15} ची बेरीज करची.

$$-\frac{14}{5}b=-\frac{44}{15}$$

-\frac{14}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$b=\frac{22}{21}$$

a=-\frac{1}{5}b-\frac{4}{15} त b खातीर \frac{22}{21} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$a=-\frac{1}{5}\times \frac{22}{21}-\frac{4}{15}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{22}{21} क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=-\frac{22}{105}-\frac{4}{15}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{22}{105} क -\frac{4}{15} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$a=-\frac{10}{21}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-\frac{10}{21},b=\frac{22}{21}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$30a+6b+8=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$30a+6b=-8$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$4a-2b+8=4$$

दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$4a-2b=4-8$$

-4 मेळोवंक 4 आनी 8 वजा करचे.

$$4a-2b=-4$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$30a+6b=-8,4a-2b=-4$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&6\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{30\left(-2\right)-6\times 4}&-\frac{6}{30\left(-2\right)-6\times 4}\\-\frac{4}{30\left(-2\right)-6\times 4}&\frac{30}{30\left(-2\right)-6\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}&\frac{1}{14}\\\frac{1}{21}&-\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}\left(-8\right)+\frac{1}{14}\left(-4\right)\\\frac{1}{21}\left(-8\right)-\frac{5}{14}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{21}\\\frac{22}{21}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां a आनी b काडचीं.

$$a=-\frac{10}{21},b=\frac{22}{21}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$30a+6b+8=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$30a+6b=-8$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$4a-2b+8=4$$

दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$4a-2b=4-8$$

-4 मेळोवंक 4 आनी 8 वजा करचे.

$$4a-2b=-4$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$30a+6b=-8,4a-2b=-4$$

30a आनी 4a बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 30 न गुणचें.

$$4\times 30a+4\times 6b=4\left(-8\right),30\times 4a+30\left(-2\right)b=30\left(-4\right)$$

सोंपें करचें.

$$120a+24b=-32,120a-60b=-120$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 120a+24b=-32 तल्यान 120a-60b=-120 वजा करचो.

$$120a-120a+24b+60b=-32+120$$

-120a कडेन 120a ची बेरीज करची. अटी 120a आनी -120a रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$24b+60b=-32+120$$

60b कडेन 24b ची बेरीज करची.

$$84b=-32+120$$

120 कडेन -32 ची बेरीज करची.

$$84b=88$$

दोनुय कुशींक 84 न भाग लावचो.

$$b=\frac{22}{21}$$

4a-2b=-4 त b खातीर \frac{22}{21} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी a खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4a-2\times \frac{22}{21}=-4$$

\frac{22}{21}क -2 फावटी गुणचें.

$$4a-\frac{44}{21}=-4$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{44}{21} ची बेरीज करची.

$$4a=-\frac{40}{21}$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$a=-\frac{10}{21}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$a=-\frac{10}{21},b=\frac{22}{21}$$