सोडोवचें {l}{0=1/3-b+c}{0=3+3b+c}

$$\left. \begin{array} { l } { 0 = \frac { 1 } { 3 } - b + c } \\ { 0 = 3 + 3 b + c } \end{array} \right.$$

b, c खातीर सोडोवचें

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$c=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{3} वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3+3b+c=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$3b+c=-3$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक b वेगळावन b खातीर तें सोडोवचें.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान c वजा करचें.

$$-b=-c-\frac{1}{3}$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$b=-\left(-c-\frac{1}{3}\right)$$

-c-\frac{1}{3}क -1 फावटी गुणचें.

$$b=c+\frac{1}{3}$$

3b+c=-3 ह्या दुस-या समिकरणांत b खातीर c+\frac{1}{3} बदलपी घेवचो.

$$3\left(c+\frac{1}{3}\right)+c=-3$$

c+\frac{1}{3}क 3 फावटी गुणचें.

$$3c+1+c=-3$$

c कडेन 3c ची बेरीज करची.

$$4c+1=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 1 वजा करचें.

$$4c=-4$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$c=-1$$

b=c+\frac{1}{3} त c खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी b खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$b=-1+\frac{1}{3}$$

-1 कडेन \frac{1}{3} ची बेरीज करची.

$$b=-\frac{2}{3}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{3} वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3+3b+c=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$3b+c=-3$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां b आनी c काडचीं.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$\frac{1}{3}-b+c=0$$

दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{3} वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$-b+c=-\frac{1}{3}$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. कुशी हाणच्यो ताका लागून बरोबर चिन्नाच्या दाव्यान सगळी विशम संज्ञा येतली.

$$3+3b+c=0$$

दोनूय कुशींतल्यान 3 वजा करचें. किदेंय शुन्यातल्यान वजा केल्यार अभाव दाखयता.

$$3b+c=-3$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-b+c=-\frac{1}{3},3b+c=-3$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -b+c=-\frac{1}{3} तल्यान 3b+c=-3 वजा करचो.

$$-b-3b+c-c=-\frac{1}{3}+3$$

-c कडेन c ची बेरीज करची. अटी c आनी -c रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-b-3b=-\frac{1}{3}+3$$

-3b कडेन -b ची बेरीज करची.

$$-4b=-\frac{1}{3}+3$$

3 कडेन -\frac{1}{3} ची बेरीज करची.

$$-4b=\frac{8}{3}$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$b=-\frac{2}{3}$$

3b+c=-3 त b खातीर -\frac{2}{3} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी c खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$3\left(-\frac{2}{3}\right)+c=-3$$

-\frac{2}{3}क 3 फावटी गुणचें.

$$-2+c=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$c=-1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$b=-\frac{2}{3},c=-1$$