सोडोवचें {l}{-x+y=-9}{2x+2y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = - 9 } \\ { 2 x + 2 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=8$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-x+y=-9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$-x=-y-9$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=-\left(-y-9\right)$$

-y-9क -1 फावटी गुणचें.

$$x=y+9$$

2x+2y=14 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर y+9 बदलपी घेवचो.

$$2\left(y+9\right)+2y=14$$

y+9क 2 फावटी गुणचें.

$$2y+18+2y=14$$

2y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$4y+18=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 वजा करचें.

$$4y=-4$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

x=y+9 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-1+9$$

-1 कडेन 9 ची बेरीज करची.

$$x=8$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=8,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 14\\\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=8,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-x+y=-9,2x+2y=14$$

-x आनी 2x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 2 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न गुणचें.

$$2\left(-1\right)x+2y=2\left(-9\right),-2x-2y=-14$$

सोंपें करचें.

$$-2x+2y=-18,-2x-2y=-14$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -2x+2y=-18 तल्यान -2x-2y=-14 वजा करचो.

$$-2x+2x+2y+2y=-18+14$$

2x कडेन -2x ची बेरीज करची. अटी -2x आनी 2x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$2y+2y=-18+14$$

2y कडेन 2y ची बेरीज करची.

$$4y=-18+14$$

14 कडेन -18 ची बेरीज करची.

$$4y=-4$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

2x+2y=14 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2x+2\left(-1\right)=14$$

-1क 2 फावटी गुणचें.

$$2x-2=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2 ची बेरीज करची.

$$2x=16$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$x=8$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=8,y=-1$$