सोडोवचें {l}{-x+2y=17}{2x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-9$$

$$y=4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-x+2y=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 2y वजा करचें.

$$-x=-2y+17$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=-\left(-2y+17\right)$$

-2y+17क -1 फावटी गुणचें.

$$x=2y-17$$

2x+2y=-10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर 2y-17 बदलपी घेवचो.

$$2\left(2y-17\right)+2y=-10$$

2y-17क 2 फावटी गुणचें.

$$4y-34+2y=-10$$

2y कडेन 4y ची बेरीज करची.

$$6y-34=-10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 34 ची बेरीज करची.

$$6y=24$$

दोनुय कुशींक 6 न भाग लावचो.

$$y=4$$

x=2y-17 त y खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=2\times 4-17$$

4क 2 फावटी गुणचें.

$$x=8-17$$

8 कडेन -17 ची बेरीज करची.

$$x=-9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-9,y=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{2}{-2-2\times 2}\\-\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{1}{-2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{6}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-9,y=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -x+2y=17 तल्यान 2x+2y=-10 वजा करचो.

$$-x-2x+2y-2y=17+10$$

-2y कडेन 2y ची बेरीज करची. अटी 2y आनी -2y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-x-2x=17+10$$

-2x कडेन -x ची बेरीज करची.

$$-3x=17+10$$

10 कडेन 17 ची बेरीज करची.

$$-3x=27$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-9$$

2x+2y=-10 त x खातीर -9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$2\left(-9\right)+2y=-10$$

-9क 2 फावटी गुणचें.

$$-18+2y=-10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 ची बेरीज करची.

$$2y=8$$

दोनुय कुशींक 2 न भाग लावचो.

$$y=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-9,y=4$$