सोडोवचें {l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=1$$

$$y=-6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-9x-y=-3$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$-9x=y-3$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

y-3क -\frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

-8x+2y=-20 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{y}{9}+\frac{1}{3} बदलपी घेवचो.

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

-\frac{y}{9}+\frac{1}{3}क -8 फावटी गुणचें.

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

2y कडेन \frac{8y}{9} ची बेरीज करची.

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{8}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

\frac{26}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-6$$

x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3} त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

-6क -\frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{2}{3} क \frac{1}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=1,y=-6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

-9x आनी -8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -9 न गुणचें.

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

सोंपें करचें.

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 72x+8y=24 तल्यान 72x-18y=180 वजा करचो.

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

-72x कडेन 72x ची बेरीज करची. अटी 72x आनी -72x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$8y+18y=24-180$$

18y कडेन 8y ची बेरीज करची.

$$26y=24-180$$

-180 कडेन 24 ची बेरीज करची.

$$26y=-156$$

दोनुय कुशींक 26 न भाग लावचो.

$$y=-6$$

-8x+2y=-20 त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

-6क 2 फावटी गुणचें.

$$-8x-12=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 12 ची बेरीज करची.

$$-8x=-8$$

दोनुय कुशींक -8 न भाग लावचो.

$$x=1$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=1,y=-6$$