सोडोवचें {l}{-9x-y=-14}{-x-5y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 14 } \\ { - x - 5 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=-4$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-9x-y=-14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$-9x=y-14$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-14\right)$$

y-14क -\frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}$$

-x-5y=18 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+14}{9} बदलपी घेवचो.

$$-\left(-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}\right)-5y=18$$

\frac{-y+14}{9}क -1 फावटी गुणचें.

$$\frac{1}{9}y-\frac{14}{9}-5y=18$$

-5y कडेन \frac{y}{9} ची बेरीज करची.

$$-\frac{44}{9}y-\frac{14}{9}=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{14}{9} ची बेरीज करची.

$$-\frac{44}{9}y=\frac{176}{9}$$

-\frac{44}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-4$$

x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9} त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-4\right)+\frac{14}{9}$$

-4क -\frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{4+14}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{4}{9} क \frac{14}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{9}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&-\frac{9}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}\left(-14\right)+\frac{1}{44}\times 18\\\frac{1}{44}\left(-14\right)-\frac{9}{44}\times 18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=-4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

-9x आनी -x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -9 न गुणचें.

$$-\left(-9\right)x-\left(-y\right)=-\left(-14\right),-9\left(-1\right)x-9\left(-5\right)y=-9\times 18$$

सोंपें करचें.

$$9x+y=14,9x+45y=-162$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 9x+y=14 तल्यान 9x+45y=-162 वजा करचो.

$$9x-9x+y-45y=14+162$$

-9x कडेन 9x ची बेरीज करची. अटी 9x आनी -9x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$y-45y=14+162$$

-45y कडेन y ची बेरीज करची.

$$-44y=14+162$$

162 कडेन 14 ची बेरीज करची.

$$-44y=176$$

दोनुय कुशींक -44 न भाग लावचो.

$$y=-4$$

-x-5y=18 त y खातीर -4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-x-5\left(-4\right)=18$$

-4क -5 फावटी गुणचें.

$$-x+20=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 20 वजा करचें.

$$-x=-2$$

दोनुय कुशींक -1 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-4$$