सोडोवचें {l}{-9x-7y=17}{10x+7y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 7 y = 17 } \\ { 10 x + 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=2$$

$$y=-5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-9x-7y=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y ची बेरीज करची.

$$-9x=7y+17$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{9}\left(7y+17\right)$$

7y+17क -\frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}$$

10x+7y=-15 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-7y-17}{9} बदलपी घेवचो.

$$10\left(-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}\right)+7y=-15$$

\frac{-7y-17}{9}क 10 फावटी गुणचें.

$$-\frac{70}{9}y-\frac{170}{9}+7y=-15$$

7y कडेन -\frac{70y}{9} ची बेरीज करची.

$$-\frac{7}{9}y-\frac{170}{9}=-15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{170}{9} ची बेरीज करची.

$$-\frac{7}{9}y=\frac{35}{9}$$

-\frac{7}{9} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-5$$

x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9} त y खातीर -5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{17}{9}$$

-5क -\frac{7}{9} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{35-17}{9}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{35}{9} क -\frac{17}{9} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{-7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\\-\frac{10}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{10}{7}&-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-15\\-\frac{10}{7}\times 17-\frac{9}{7}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=2,y=-5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

-9x आनी 10x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 10 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -9 न गुणचें.

$$10\left(-9\right)x+10\left(-7\right)y=10\times 17,-9\times 10x-9\times 7y=-9\left(-15\right)$$

सोंपें करचें.

$$-90x-70y=170,-90x-63y=135$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -90x-70y=170 तल्यान -90x-63y=135 वजा करचो.

$$-90x+90x-70y+63y=170-135$$

90x कडेन -90x ची बेरीज करची. अटी -90x आनी 90x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-70y+63y=170-135$$

63y कडेन -70y ची बेरीज करची.

$$-7y=170-135$$

-135 कडेन 170 ची बेरीज करची.

$$-7y=35$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$y=-5$$

10x+7y=-15 त y खातीर -5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$10x+7\left(-5\right)=-15$$

-5क 7 फावटी गुणचें.

$$10x-35=-15$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 35 ची बेरीज करची.

$$10x=20$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=2$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=2,y=-5$$