सोडोवचें {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-9x+6y=13$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6y वजा करचें.

$$-9x=-6y+13$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

-6y+13क -\frac{1}{9} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

cx+8y=-12 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} बदलपी घेवचो.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

\frac{2y}{3}-\frac{13}{9}क c फावटी गुणचें.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

8y कडेन \frac{2cy}{3} ची बेरीज करची.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{13c}{9} ची बेरीज करची.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

दोनुय कुशींक \frac{2c}{3}+8 न भाग लावचो.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9} त y खातीर \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}क \frac{2}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

\frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)} कडेन -\frac{13}{9} ची बेरीज करची.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

-9x आनी cx बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक c न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -9 न गुणचें.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

सोंपें करचें.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून \left(-9c\right)x+6cy=13c तल्यान \left(-9c\right)x-72y=108 वजा करचो.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

9cx कडेन -9cx ची बेरीज करची. अटी -9cx आनी 9cx रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$6cy+72y=13c-108$$

72y कडेन 6cy ची बेरीज करची.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

दोनुय कुशींक 72+6c न भाग लावचो.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

cx+8y=-12 त y खातीर \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}क 8 फावटी गुणचें.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} वजा करचें.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

दोनुय कुशींक c न भाग लावचो.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$