सोडोवचें {l}{-6x+5y=1}{x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x = \frac{46}{29} = 1\frac{17}{29} \approx 1.586206897$$

$$y = \frac{61}{29} = 2\frac{3}{29} \approx 2.103448276$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-6x+5y=1,x+4y=10$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-6x+5y=1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y वजा करचें.

$$-6x=-5y+1$$

दोनुय कुशींक -6 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

-5y+1क -\frac{1}{6} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

x+4y=10 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{5y-1}{6} बदलपी घेवचो.

$$\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}+4y=10$$

4y कडेन \frac{5y}{6} ची बेरीज करची.

$$\frac{29}{6}y-\frac{1}{6}=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{1}{6} ची बेरीज करची.

$$\frac{29}{6}y=\frac{61}{6}$$

\frac{29}{6} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{61}{29}$$

x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6} त y खातीर \frac{61}{29} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{5}{6}\times \frac{61}{29}-\frac{1}{6}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{61}{29} क \frac{5}{6} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{305}{174}-\frac{1}{6}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{305}{174} क -\frac{1}{6} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=\frac{46}{29}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{46}{29},y=\frac{61}{29}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-6x+5y=1,x+4y=10$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5}&-\frac{5}{-6\times 4-5}\\-\frac{1}{-6\times 4-5}&-\frac{6}{-6\times 4-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{29}&\frac{5}{29}\\\frac{1}{29}&\frac{6}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{29}+\frac{5}{29}\times 10\\\frac{1}{29}+\frac{6}{29}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{29}\\\frac{61}{29}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=\frac{46}{29},y=\frac{61}{29}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-6x+5y=1,x+4y=10$$

-6x आनी x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 1 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -6 न गुणचें.

$$-6x+5y=1,-6x-6\times 4y=-6\times 10$$

सोंपें करचें.

$$-6x+5y=1,-6x-24y=-60$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -6x+5y=1 तल्यान -6x-24y=-60 वजा करचो.

$$-6x+6x+5y+24y=1+60$$

6x कडेन -6x ची बेरीज करची. अटी -6x आनी 6x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$5y+24y=1+60$$

24y कडेन 5y ची बेरीज करची.

$$29y=1+60$$

60 कडेन 1 ची बेरीज करची.

$$29y=61$$

दोनुय कुशींक 29 न भाग लावचो.

$$y=\frac{61}{29}$$

x+4y=10 त y खातीर \frac{61}{29} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x+4\times \frac{61}{29}=10$$

\frac{61}{29}क 4 फावटी गुणचें.

$$x+\frac{244}{29}=10$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{244}{29} वजा करचें.

$$x=\frac{46}{29}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=\frac{46}{29},y=\frac{61}{29}$$