सोडोवचें {l}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

y, x खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=10$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक y वेगळावन y खातीर तें सोडोवचें.

$$-5y+8x=-18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8x वजा करचें.

$$-5y=-8x-18$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

-8x-18क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

5y+2x=58 ह्या दुस-या समिकरणांत y खातीर \frac{8x+18}{5} बदलपी घेवचो.

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

\frac{8x+18}{5}क 5 फावटी गुणचें.

$$8x+18+2x=58$$

2x कडेन 8x ची बेरीज करची.

$$10x+18=58$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 18 वजा करचें.

$$10x=40$$

दोनुय कुशींक 10 न भाग लावचो.

$$x=4$$

y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5} त x खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

4क \frac{8}{5} फावटी गुणचें.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{32}{5} क \frac{18}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$y=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=10,x=4$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां y आनी x काडचीं.

$$y=10,x=4$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

-5y आनी 5y बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न गुणचें.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

सोंपें करचें.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -25y+40x=-90 तल्यान -25y-10x=-290 वजा करचो.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

25y कडेन -25y ची बेरीज करची. अटी -25y आनी 25y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$40x+10x=-90+290$$

10x कडेन 40x ची बेरीज करची.

$$50x=-90+290$$

290 कडेन -90 ची बेरीज करची.

$$50x=200$$

दोनुय कुशींक 50 न भाग लावचो.

$$x=4$$

5y+2x=58 त x खातीर 4 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5y+2\times 4=58$$

4क 2 फावटी गुणचें.

$$5y+8=58$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 8 वजा करचें.

$$5y=50$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$y=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$y=10,x=4$$