सोडोवचें {l}{-5x-7y=-18}{7x+9y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 7 y = - 18 } \\ { 7 x + 9 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-9$$

$$y=9$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-5x-7y=-18,7x+9y=18$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-5x-7y=-18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7y ची बेरीज करची.

$$-5x=7y-18$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{5}\left(7y-18\right)$$

7y-18क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{18}{5}$$

7x+9y=18 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-7y+18}{5} बदलपी घेवचो.

$$7\left(-\frac{7}{5}y+\frac{18}{5}\right)+9y=18$$

\frac{-7y+18}{5}क 7 फावटी गुणचें.

$$-\frac{49}{5}y+\frac{126}{5}+9y=18$$

9y कडेन -\frac{49y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{126}{5}=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{126}{5} वजा करचें.

$$-\frac{4}{5}y=-\frac{36}{5}$$

-\frac{4}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=9$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{18}{5} त y खातीर 9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{7}{5}\times 9+\frac{18}{5}$$

9क -\frac{7}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-63+18}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{63}{5} क \frac{18}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-9,y=9$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-5x-7y=-18,7x+9y=18$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{-5\times 9-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-5\times 9-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-5\times 9-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{5}{-5\times 9-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}&\frac{7}{4}\\-\frac{7}{4}&-\frac{5}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-18\right)+\frac{7}{4}\times 18\\-\frac{7}{4}\left(-18\right)-\frac{5}{4}\times 18\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-9,y=9$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-5x-7y=-18,7x+9y=18$$

-5x आनी 7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न गुणचें.

$$7\left(-5\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-18\right),-5\times 7x-5\times 9y=-5\times 18$$

सोंपें करचें.

$$-35x-49y=-126,-35x-45y=-90$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -35x-49y=-126 तल्यान -35x-45y=-90 वजा करचो.

$$-35x+35x-49y+45y=-126+90$$

35x कडेन -35x ची बेरीज करची. अटी -35x आनी 35x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-49y+45y=-126+90$$

45y कडेन -49y ची बेरीज करची.

$$-4y=-126+90$$

90 कडेन -126 ची बेरीज करची.

$$-4y=-36$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$y=9$$

7x+9y=18 त y खातीर 9 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$7x+9\times 9=18$$

9क 9 फावटी गुणचें.

$$7x+81=18$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 81 वजा करचें.

$$7x=-63$$

दोनुय कुशींक 7 न भाग लावचो.

$$x=-9$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-9,y=9$$