सोडोवचें {l}{-5x-3y-9=0}{4x-18y-54=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 3 y - 9 = 0 } \\ { 4 x - 18 y - 54 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=0$$

$$y=-3$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-5x-3y-9=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 9 ची बेरीज करची.

$$-5x-3y=9$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y ची बेरीज करची.

$$-5x=3y+9$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{5}\left(3y+9\right)$$

9+3yक -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}$$

4x-18y-54=0 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-3y-9}{5} बदलपी घेवचो.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}\right)-18y-54=0$$

\frac{-3y-9}{5}क 4 फावटी गुणचें.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{36}{5}-18y-54=0$$

-18y कडेन -\frac{12y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{36}{5}-54=0$$

-54 कडेन -\frac{36}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{306}{5}=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{306}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{102}{5}y=\frac{306}{5}$$

-\frac{102}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-3$$

x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5} त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{9}{5}$$

-3क -\frac{3}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{9-9}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{9}{5} क -\frac{9}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-3$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{5}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{1}{34}\\-\frac{2}{51}&-\frac{5}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 9+\frac{1}{34}\times 54\\-\frac{2}{51}\times 9-\frac{5}{102}\times 54\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=0,y=-3$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

-5x आनी 4x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 4 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न गुणचें.

$$4\left(-5\right)x+4\left(-3\right)y+4\left(-9\right)=0,-5\times 4x-5\left(-18\right)y-5\left(-54\right)=0$$

सोंपें करचें.

$$-20x-12y-36=0,-20x+90y+270=0$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -20x-12y-36=0 तल्यान -20x+90y+270=0 वजा करचो.

$$-20x+20x-12y-90y-36-270=0$$

20x कडेन -20x ची बेरीज करची. अटी -20x आनी 20x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-12y-90y-36-270=0$$

-90y कडेन -12y ची बेरीज करची.

$$-102y-36-270=0$$

-270 कडेन -36 ची बेरीज करची.

$$-102y-306=0$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 306 ची बेरीज करची.

$$-102y=306$$

दोनुय कुशींक -102 न भाग लावचो.

$$y=-3$$

4x-18y-54=0 त y खातीर -3 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$4x-18\left(-3\right)-54=0$$

-3क -18 फावटी गुणचें.

$$4x+54-54=0$$

-54 कडेन 54 ची बेरीज करची.

$$4x=0$$

दोनुय कुशींक 4 न भाग लावचो.

$$x=0$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=0,y=-3$$