सोडोवचें {l}{-5x+13y=-7}{5x+4y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 13 y = - 7 } \\ { 5 x + 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=4$$

$$y=1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-5x+13y=-7$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 13y वजा करचें.

$$-5x=-13y-7$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-13y-7\right)$$

-13y-7क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}$$

5x+4y=24 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{13y+7}{5} बदलपी घेवचो.

$$5\left(\frac{13}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=24$$

\frac{13y+7}{5}क 5 फावटी गुणचें.

$$13y+7+4y=24$$

4y कडेन 13y ची बेरीज करची.

$$17y+7=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 7 वजा करचें.

$$17y=17$$

दोनुय कुशींक 17 न भाग लावचो.

$$y=1$$

x=\frac{13}{5}y+\frac{7}{5} त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{13+7}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{13}{5} क \frac{7}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&13\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{13}{-5\times 4-13\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}&-\frac{5}{-5\times 4-13\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}&\frac{13}{85}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{85}\left(-7\right)+\frac{13}{85}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-7\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=4,y=1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-5x+13y=-7,5x+4y=24$$

-5x आनी 5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न गुणचें.

$$5\left(-5\right)x+5\times 13y=5\left(-7\right),-5\times 5x-5\times 4y=-5\times 24$$

सोंपें करचें.

$$-25x+65y=-35,-25x-20y=-120$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -25x+65y=-35 तल्यान -25x-20y=-120 वजा करचो.

$$-25x+25x+65y+20y=-35+120$$

25x कडेन -25x ची बेरीज करची. अटी -25x आनी 25x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$65y+20y=-35+120$$

20y कडेन 65y ची बेरीज करची.

$$85y=-35+120$$

120 कडेन -35 ची बेरीज करची.

$$85y=85$$

दोनुय कुशींक 85 न भाग लावचो.

$$y=1$$

5x+4y=24 त y खातीर 1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$5x+4=24$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 4 वजा करचें.

$$5x=20$$

दोनुय कुशींक 5 न भाग लावचो.

$$x=4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=4,y=1$$