सोडोवचें {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=10$$

$$y=-6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-4x-10y=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 10y ची बेरीज करची.

$$-4x=10y+20$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

20+10yक -\frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

8x+10y=20 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर -\frac{5y}{2}-5 बदलपी घेवचो.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

-\frac{5y}{2}-5क 8 फावटी गुणचें.

$$-20y-40+10y=20$$

10y कडेन -20y ची बेरीज करची.

$$-10y-40=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 40 ची बेरीज करची.

$$-10y=60$$

दोनुय कुशींक -10 न भाग लावचो.

$$y=-6$$

x=-\frac{5}{2}y-5 त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

-6क -\frac{5}{2} फावटी गुणचें.

$$x=15-5$$

15 कडेन -5 ची बेरीज करची.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=-6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=10,y=-6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

-4x आनी 8x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक 8 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न गुणचें.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

सोंपें करचें.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -32x-80y=160 तल्यान -32x-40y=-80 वजा करचो.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

32x कडेन -32x ची बेरीज करची. अटी -32x आनी 32x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-80y+40y=160+80$$

40y कडेन -80y ची बेरीज करची.

$$-40y=160+80$$

80 कडेन 160 ची बेरीज करची.

$$-40y=240$$

दोनुय कुशींक -40 न भाग लावचो.

$$y=-6$$

8x+10y=20 त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

-6क 10 फावटी गुणचें.

$$8x-60=20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 60 ची बेरीज करची.

$$8x=80$$

दोनुय कुशींक 8 न भाग लावचो.

$$x=10$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=10,y=-6$$