सोडोवचें {l}{-4x+y=6}{-5x-y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + y = 6 } \\ { - 5 x - y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-3$$

$$y=-6$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-4x+y=6$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$-4x=-y+6$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-y+6\right)$$

-y+6क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}$$

-5x-y=21 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{y}{4}-\frac{3}{2} बदलपी घेवचो.

$$-5\left(\frac{1}{4}y-\frac{3}{2}\right)-y=21$$

\frac{y}{4}-\frac{3}{2}क -5 फावटी गुणचें.

$$-\frac{5}{4}y+\frac{15}{2}-y=21$$

-y कडेन -\frac{5y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{15}{2} वजा करचें.

$$-\frac{9}{4}y=\frac{27}{2}$$

-\frac{9}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-6$$

x=\frac{1}{4}y-\frac{3}{2} त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{3}{2}$$

-6क \frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{-3-3}{2}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{3}{2} क -\frac{3}{2} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=-6$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&1\\-5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{1}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{4}{-4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{5}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\21\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 21\\\frac{5}{9}\times 6-\frac{4}{9}\times 21\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-3,y=-6$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-4x+y=6,-5x-y=21$$

-4x आनी -5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -4 न गुणचें.

$$-5\left(-4\right)x-5y=-5\times 6,-4\left(-5\right)x-4\left(-1\right)y=-4\times 21$$

सोंपें करचें.

$$20x-5y=-30,20x+4y=-84$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 20x-5y=-30 तल्यान 20x+4y=-84 वजा करचो.

$$20x-20x-5y-4y=-30+84$$

-20x कडेन 20x ची बेरीज करची. अटी 20x आनी -20x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-5y-4y=-30+84$$

-4y कडेन -5y ची बेरीज करची.

$$-9y=-30+84$$

84 कडेन -30 ची बेरीज करची.

$$-9y=54$$

दोनुय कुशींक -9 न भाग लावचो.

$$y=-6$$

-5x-y=21 त y खातीर -6 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-5x-\left(-6\right)=21$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 वजा करचें.

$$-5x=15$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-3$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-3,y=-6$$