सोडोवचें {l}{-4x+3y=-5}{-7x+3y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = - 5 } \\ { - 7 x + 3 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=5$$

$$y=5$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-4x+3y=-5$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 3y वजा करचें.

$$-4x=-3y-5$$

दोनुय कुशींक -4 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y-5\right)$$

-3y-5क -\frac{1}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

-7x+3y=-20 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{3y+5}{4} बदलपी घेवचो.

$$-7\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+3y=-20$$

\frac{3y+5}{4}क -7 फावटी गुणचें.

$$-\frac{21}{4}y-\frac{35}{4}+3y=-20$$

3y कडेन -\frac{21y}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{35}{4}=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{35}{4} ची बेरीज करची.

$$-\frac{9}{4}y=-\frac{45}{4}$$

-\frac{9}{4} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=5$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4} त y खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=\frac{3}{4}\times 5+\frac{5}{4}$$

5क \frac{3}{4} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{15+5}{4}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{15}{4} क \frac{5}{4} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=5$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\-7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-4\times 3-3\left(-7\right)}&-\frac{4}{-4\times 3-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-5\right)-\frac{1}{3}\left(-20\right)\\\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{4}{9}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=5,y=5$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-4x+3y=-5,-7x+3y=-20$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून -4x+3y=-5 तल्यान -7x+3y=-20 वजा करचो.

$$-4x+7x+3y-3y=-5+20$$

-3y कडेन 3y ची बेरीज करची. अटी 3y आनी -3y रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$-4x+7x=-5+20$$

7x कडेन -4x ची बेरीज करची.

$$3x=-5+20$$

20 कडेन -5 ची बेरीज करची.

$$3x=15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$x=5$$

-7x+3y=-20 त x खातीर 5 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी y खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-7\times 5+3y=-20$$

5क -7 फावटी गुणचें.

$$-35+3y=-20$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 35 ची बेरीज करची.

$$3y=15$$

दोनुय कुशींक 3 न भाग लावचो.

$$y=5$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=5,y=5$$