सोडोवचें {l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x मेळोवंक -3x आनी -2x एकठांय करचें.

$$-5x-y=-1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2x+5y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$-6x-15y=x+y-30$$

दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x मेळोवंक -6x आनी -x एकठांय करचें.

$$-7x-15y=y-30$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y मेळोवंक -15y आनी -y एकठांय करचें.

$$-7x-16y=-30$$

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-5x-y=-1$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान y ची बेरीज करची.

$$-5x=y-1$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

y-1क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

-7x-16y=-30 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-y+1}{5} बदलपी घेवचो.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

\frac{-y+1}{5}क -7 फावटी गुणचें.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

-16y कडेन \frac{7y}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{7}{5} ची बेरीज करची.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

-\frac{73}{5} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=\frac{143}{73}$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5} त y खातीर \frac{143}{73} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

गणक वेळा गणकाक आनी भाजक वेळा भाजकाक गुणून \frac{143}{73} क -\frac{1}{5} फावटी गुणचें. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून -\frac{143}{365} क \frac{1}{5} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-\frac{14}{73}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x मेळोवंक -3x आनी -2x एकठांय करचें.

$$-5x-y=-1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2x+5y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$-6x-15y=x+y-30$$

दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x मेळोवंक -6x आनी -x एकठांय करचें.

$$-7x-15y=y-30$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y मेळोवंक -15y आनी -y एकठांय करचें.

$$-7x-16y=-30$$

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

पयलें समिकरण विचारांत घेवचें. दोनूय कुशींतल्यान 2x वजा करचें.

$$-3x-y-2x=-1$$

-5x मेळोवंक -3x आनी -2x एकठांय करचें.

$$-5x-y=-1$$

दुसरें समिकरण विचारांत घेवचें. 2x+5y न -3 गुणपाक विभाजक विशमाचो वापर करचो.

$$-6x-15y=x+y-30$$

दोनूय कुशींतल्यान x वजा करचें.

$$-6x-15y-x=y-30$$

-7x मेळोवंक -6x आनी -x एकठांय करचें.

$$-7x-15y=y-30$$

दोनूय कुशींतल्यान y वजा करचें.

$$-7x-15y-y=-30$$

-16y मेळोवंक -15y आनी -y एकठांय करचें.

$$-7x-16y=-30$$

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

-5x आनी -7x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -7 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न गुणचें.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

सोंपें करचें.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 35x+7y=7 तल्यान 35x+80y=150 वजा करचो.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

-35x कडेन 35x ची बेरीज करची. अटी 35x आनी -35x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$7y-80y=7-150$$

-80y कडेन 7y ची बेरीज करची.

$$-73y=7-150$$

-150 कडेन 7 ची बेरीज करची.

$$-73y=-143$$

दोनुय कुशींक -73 न भाग लावचो.

$$y=\frac{143}{73}$$

-7x-16y=-30 त y खातीर \frac{143}{73} बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

\frac{143}{73}क -16 फावटी गुणचें.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{2288}{73} ची बेरीज करची.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

दोनुय कुशींक -7 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{14}{73}$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$