सोडोवचें {l}{-3x-5y=17}{-5x+6y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 5 y = 17 } \\ { - 5 x + 6 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y खातीर सोडोवचें

$$x=-4$$

$$y=-1$$

ताचे सुवातेर बदली वापरून पांवडे

वजाचो वापर करून समिकरणाची जोडी सोडोवंक, पयलीं एका विशमा खातीर एक समिकरण सोडोवचें. मागीर दुसऱ्या समिकरणांत त्या विशमाचे सुवातेर येवपी निकाल घेवचो.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

एक समिकरण वेंचचें आनी बरोबर चिन्नाच्या दावे कुशीक x वेगळावन x खातीर तें सोडोवचें.

$$-3x-5y=17$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 5y ची बेरीज करची.

$$-3x=5y+17$$

दोनुय कुशींक -3 न भाग लावचो.

$$x=-\frac{1}{3}\left(5y+17\right)$$

5y+17क -\frac{1}{3} फावटी गुणचें.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}$$

-5x+6y=14 ह्या दुस-या समिकरणांत x खातीर \frac{-5y-17}{3} बदलपी घेवचो.

$$-5\left(-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}\right)+6y=14$$

\frac{-5y-17}{3}क -5 फावटी गुणचें.

$$\frac{25}{3}y+\frac{85}{3}+6y=14$$

6y कडेन \frac{25y}{3} ची बेरीज करची.

$$\frac{43}{3}y+\frac{85}{3}=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान \frac{85}{3} वजा करचें.

$$\frac{43}{3}y=-\frac{43}{3}$$

\frac{43}{3} वरवीं समिकरणाच्या दोनूय कुशींक भाग लावचो, अपुर्णांकाच्या पुरका वरवीं दोनूय कुशींक गुणपा सारकेंच हें आसता.

$$y=-1$$

x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3} त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{17}{3}$$

-1क -\frac{5}{3} फावटी गुणचें.

$$x=\frac{5-17}{3}$$

सामान्य भाजक सोदून आनी गणकांची बेरीज करून \frac{5}{3} क -\frac{17}{3} ची बेरीज करची. मागीर शक्य आसा जाल्यार सगल्यांत ल्हान संज्ञेन अपुर्णांक उणो करचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=-1$$

मॅट्रिसीस वापरून पांवडे

समिकरणां प्रमाणित पद्दतीन मांडची आनी मागीर समिकरणाची प्रणाली सोडोवंक मॅट्रिसीसचो वापर करचो.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

मॅट्रिक्स पद्दतीन समिकरण बरोवचें.

$$\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)च्या विपरीत मॅट्रीक्स वरवीं समिकरण गुणाकार सोडचो.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रीक्साचो गुणाकार आनी समान मॅट्रीक्साच्या विपरीत आसा.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

बरोबर चिन्नाच्या दाव्या बाजून मॅट्रायसीस गुणाकार करचो.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)खातीर, उरफाटें मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)आसा, ताका लागून मॅट्रिक्स समिकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हूण बरोवंक शकतात.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{3}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}&-\frac{5}{43}\\-\frac{5}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिसीस गुणचे.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}\times 17-\frac{5}{43}\times 14\\-\frac{5}{43}\times 17+\frac{3}{43}\times 14\end{matrix}\right)$$

अंकगणीत करचें.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स मुलतत्वां x आनी y काडचीं.

$$x=-4,y=-1$$

कडसरावणी वापरून पांवडे

कडसरावन सोडोवंक, दोनूय समिकरणांनी एक तरी विशमाचे को-ऐफिशियंट समान आसूंक जाय म्हणटकीर एका समिकरणांतल्यान दुसरें वजा करतकीच विशम रद्द जातलें.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

-3x आनी -5x बरोबर करूंक, पयल्या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -5 न आनी दुस-या समिकरणाच्या दरेक कुशीच्या सगल्या संज्ञांक -3 न गुणचें.

$$-5\left(-3\right)x-5\left(-5\right)y=-5\times 17,-3\left(-5\right)x-3\times 6y=-3\times 14$$

सोंपें करचें.

$$15x+25y=-85,15x-18y=-42$$

बरोबर चिन्नाच्या दरेक कुशीच्यो समान संज्ञा वजा करून 15x+25y=-85 तल्यान 15x-18y=-42 वजा करचो.

$$15x-15x+25y+18y=-85+42$$

-15x कडेन 15x ची बेरीज करची. अटी 15x आनी -15x रद्द जाता, सोडोवंक शकता फकत तें एक विशम समिकरणा वांगडा उरता.

$$25y+18y=-85+42$$

18y कडेन 25y ची बेरीज करची.

$$43y=-85+42$$

42 कडेन -85 ची बेरीज करची.

$$43y=-43$$

दोनुय कुशींक 43 न भाग लावचो.

$$y=-1$$

-5x+6y=14 त y खातीर -1 बदली घेवचो. कारण निकालांत येवपी समिकरणांत फकत एकूच विशम आसा, तुमी x खातीर थेट सोडोवंक शकतात.

$$-5x+6\left(-1\right)=14$$

-1क 6 फावटी गुणचें.

$$-5x-6=14$$

समिकरणाच्या दोनूय कुशींतल्यान 6 ची बेरीज करची.

$$-5x=20$$

दोनुय कुशींक -5 न भाग लावचो.

$$x=-4$$

प्रणाली आतां सुटावी जाली.

$$x=-4,y=-1$$